ANALISIS COMBINATORIO
En todo problema
combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
1.
Población
Es el conjunto de
elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de
elementos de este conjunto.
2.
Muestra
Es un subconjunto
de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen
la muestra.
Los diferentes
tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:
Orden
Es decir, si es
importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
Repetición
La posibilidad de
repetición o no de los elementos.
CONCEPTOS Y UTILIDAD
El análisis
combinatorio estudia las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos de
un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos elementos. Los problemas de arreglos y combinaciones
pueden parecer aburridos y quizá se piense que no tienen utilidad pero los
teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la
probabilidad. La probabilidad se encarga
de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de formas
diferentes en que un acontecimiento puede suceder. El análisis combinatorio tiene aplicaciones
en el diseño y funcionamiento de la tecnología computacional así como también
en las ciencias. La teoría combinatoria se aplica en las áreas en donde tengan
relevancia las distintas formas de agrupar elementos. El origen del análisis combinatorio se le
atribuye a los trabajos de Pascal (1596 – 1650) y Fermat (1601 - 1665) que fundamentan el cálculo de
probabilidades. Leibiniz (1646 – 1716) publicó en 1666 “Disertatio de Arte
Combinatoria”. El mayor impulsor de esta
rama fue Bernulli quien en sus trabajos incluye una teoría general de
permutaciones y combinaciones.
Resumiendo, El objeto del Análisis combinatorio o Combinatoria es el
estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos
de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos
elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos.
PRICIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
Principio
Fundamental del Análisis Combinatorio Una persona tiene 2 formas de ir de una
ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B, tiene 3 maneras de llegar a
otra ciudad C, ¿De cuántas maneras podrá realizar el viaje de A a C pasando por
B?
Si empezó a pie,
podrá tomar luego avión, carro o trasatlántico, y si empezó en bicicleta,
también podrá tomar avión, carro o trasatlántico. La persona tuvo 6 formas
diferentes de realizar el viaje que son: (iniciales) pa, pc, pt, ba, bc, bt. (2
x 3 = 6). Por lo que el principio
fundamental del análisis combinatorio, puede expresarse así: Si una primera decisión, operación o acción
puede efectuarse de a formas diferentes, una segunda acción puede efectuarse de
b formas diferentes, una tercera acción puede efectuarse de c formas diferentes
y así sucesivamente hasta la enésima acción que puede efectuarse de z formas
diferentes, entonces el número total de formas diferentes que pueden efectuarse
estas n acciones es igual con: a x b x c x ... x z. Este principio también se
llama principio de conteo ó principio multiplicativo.
Factorial de un número natural
Es el producto de
los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.
Ejemplo:
Calcular factorial de 5.
PERMUTACIONES
Se llama permutaciones
de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de
forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Ejemplos:
1. Calcular las
permutaciones de 6 elementos.
P6 = 6!
= 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
2. ¿Cuántos
números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
m = 5
n = 5
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las
cifras sean diferentes.
3. ¿De cuántas
formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8
personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede
repetir.
PERMUTACIONES CON
REPETICIÓN de n elementos
donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b
veces , el tercero c veces, ...
n = a + b + c +
...
Son los distintos
grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplos:
Calcular las permutaciones
con repetición de: 
.
.
2. Con las cifras
2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9
a = 3 b = 4
c = 2 a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
3. En el palo de
señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro
verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las
nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
LAS PERMUTACIONES CIRCULARES son un caso particular de las permutaciones.
Se utilizan cuando
los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los
comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se
sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Ejemplos:
1. Calcular las
permutaciones circulares de 7 elementos.
PC7= (7
− 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
2. ¿De cuántas
formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
Se llama COMBINACIONES de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con
los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos
calcular las combinaciones mediante factoriales:
Las combinaciones
se denotan por 
Ejemplos:
1. Calcular el
número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
2. En una clase de
35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos
comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
Las COMBINACIONES CON REPETICIÓN de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de
manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplo:
En una bodega hay
en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir
cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y
2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella
del mismo tipo.
El número 
se llama también NÚMERO COMBINATORIO. Se representa por 
y se lee "m sobre n".
se llama también NÚMERO COMBINATORIO. Se representa por y se lee "m sobre n".
Ejemplo:
COMBINACIONES Y PERMUTACIONES
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
 |
"Mi ensalada de frutas es una
combinación de manzanas, uvas y bananas":
no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y
manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
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|
|
|
|
"La combinación de la
cerradura es 472": ahora sí
importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene
que ser exactamente 4-7-2.
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Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
 |
Si el orden no importa, es una combinación.
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|
Si el orden sí importa es una permutación.
|
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¡Así que lo de arriba se podría llamar
"cerradura de permutación"!
|
Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.
 |
Para ayudarte a recordar, piensa en
"Permutación... Posición"
|
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
- Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
- Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
|
nr
|
|
donde
n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r
de ellas
(Se puede repetir, el orden importa) |
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
 |
Por ejemplo, ¿cómo
podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez. |
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
 |
La función factorial
(símbolo: !)
significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
|
|
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede
que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a
simplificar muchas ecuaciones.
|
|
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
|
16
× 15 × 14 × 13 × 12 ...
|
|
= 16 × 15 × 14 = 3360
|
|
13
× 12 ...
|
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
 |
|
donde
n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r
de ellas
(No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
|
16!
|
=
|
16!
|
=
|
20,922,789,888,000
|
= 3360
|
|
(16-3)!
|
13!
|
6,227,020,800
|
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
|
10!
|
=
|
10!
|
=
|
3,628,800
|
= 90
|
|
(10-2)!
|
8!
|
40,320
|
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
- Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
- imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
- después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
|
El
orden importa
|
El
orden no importa
|
|
1
2 3
1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 |
1
2 3
|
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 ×
2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
 |
|
donde
n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r
de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa) |
Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
|
16!
|
=
|
16!
|
=
|
20,922,789,888,000
|
= 560
|
|
3!(16-3)!
|
3!×13!
|
6×6,227,020,800
|
O lo puedes hacer así:
|
16×15×14
|
=
|
3360
|
= 560
|
|
3×2×1
|
6
|
Así que recuerda, haz las
permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
|
16!
|
=
|
16!
|
=
|
16!
|
= 560
|
|
3!(16-3)!
|
13!(16-13)!
|
3!×13!
|
Triángulo de Pascal
Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
1. Combinaciones con repetición
OK, ahora vamos con este...
 |
Digamos que tenemos cinco
sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes
tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay? Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
|
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3
de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.
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Imagina que el helado
está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3
paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con
3 paladas de chocolate! |
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|
Entonces es como si ordenaras a un robot
que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.
|
Ahora puedes escribirlo como
(la flecha es saltar, el círculo es tomar)Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
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{c, c, c} (3 de chocolate):
|
 |
|
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y
uno de vainilla):
|
 |
|
{b, v, v} (uno de banana, dos de
vainilla):
|
 |
OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.
Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:
 |
|
donde
n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r
de ellas
(Se puede repetir, el orden no importa) |
Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...
¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
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(5+3-1)!
|
=
|
7!
|
=
|
5040
|
= 35
|
|
3!(5-1)!
|
3!×4!
|
6×24
|
Propiedades de los números combinatorios
1. 
2.
Los números de este tipo se llaman complementarios.
3.
Ejemplo:
Hallar el número
de combinaciones de 75 elementos de orden 72.
