¿Qué son los números naturales?
Cuando el hombre tuvo la necesidad de ordenar y enlazar conjuntos se crearon los números, que no son otra cosa que la representación de la cantidad de determinado conjunto.
Para poder negociar y ordenar elementos, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que poseía y así saber de qué disponía exactamente. De ahí surgió la idea de crear símbolos que representaran esas cantidades.
Por ejemplo, si alguien sabía la cantidad de gallinas que tenía en su finca, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia.
Es por esta necesidad que el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales. Ellos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.
Operaciones con números naturales
En consecuencia, los números naturales son aquellos que nos sirven para contar y ordenar cantidades por lo que con ellos solo son posibles dos operaciones: la de sumar y la de multiplicar ¿ Por qué?
Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural. Lo mismo ocurre cuando multiplicamos. Sin embargo, no siempre podemos restar dos números naturales y obtener como resultado otro número natural y lo mismo ocurre con la división.
Por ejemplo, intenta restar 3 menos 8 ¿ves cómo el resultado no nos da un número que nos sirva para contar u ordenar elementos? El resultado sería algo como -5.
Algunos autores no excluyen al 0 (cero) de los números naturales, pero otros lo incluyen debido a que sirven para representar un conjunto sin elementos o vacío. En matemáticas, Los números naturales se representan con la letra n mayúscula (N)
Lo mismo pasa con la división ya que si, por ejemplo, dividiéramos 7 entre 5, el resultado sería un número que tampoco nos sirve para contar u ordenar elementos ya que el resultado correcto daría 1,4.
Por lo tanto se conoce que los números naturales son aquellos que van del 0 hasta el infinito, es decir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.
1
Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.
Ejemplo:
Números naturales
Los números naturales son simplemente 0, 1, 2, 3, 4, 5, … (y así sigue) aunque según a quien preguntes, el cero es o no un número natural, así que te pueden decir que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, …
¡Pero nada de fracciones!
Números de contar
Los números de contar son los números naturales, normalmente sin el cero. Porque no se puede "contar" cero. Así que son 1, 2, 3, 4, 5, … (y eso).
Enteros
Los enteros son como los naturales, pero se incluyen los números negativos ... ¡también sin fracciones!
Así que un entero puede ser negativo (-1, -2,-3, -4, -5, … ), positivo (1, 2, 3, 4, 5, … ), o cero (0)
Confuso
Más o menos todo el mundo está de acuerdo en que los números naturales no incluyen a los negativos, si no serían como los enteros. Pero hay gente que dice que el cero NO es natural, y hay otra gente que dice que sí. ¡Ya ves que no todos están de acuerdo en algo tan fácil!
Mi definición
Aunque a veces se me escapan cosas como "natural negativo", normalmente esto es lo que uso:
Números
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Nombre
|
0, 1, 2, 3, 4, 5, …
|
Naturales
|
1, 2, 3, 4, 5, …
|
Números de contar
|
... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
|
Enteros
|
Como nadie está en desacuerdo con la definición de entero, cuando tengas dudas di "entero", y si sólo quieres los enteros positivos di "enteros positivos". Así no te equivocas, y además pareces inteligente.
La necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
Los números enteros se dividen en tres partes:
1 Enteros positivos o números naturales
2 Enteros negativos
3 Cero
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
Ejemplo:
|−5| = 5
|5| = 5
Representación de los números enteros
1 En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.
2 A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, ...
3 A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: −1, −2, −3, ...
Números racionales
Un número racional es un número que se puede escribir en fracción
(o sea, como un cociente).
(o sea, como un cociente).
Por ejemplo 1,5 es un número racional porque 1,5 = 3/2 (se puede escribir en forma de fracción)
Aquí tienes más ejemplos:
Número
|
En fracción
|
¿Racional?
|
5
|
5/1
|
Sí
|
1,75
|
7/4
|
Sí
|
.001
|
1/1000
|
Sí
|
0,111...
|
1/9
|
Sí
|
√2
(raíz cuadrada de 2) |
?
|
¡NO!
|
¡Vaya! La raíz cuadrada de 2 no se puede escribir en forma de fracción! Y hay muchos más números así, como no son racionales se llaman irracionales.
Definición formal de número racional
Más formalmente diríamos:
Un número racional es un número que se expresa en la forma p/q
donde p y q son enteros y q es distinto de cero.
donde p y q son enteros y q es distinto de cero.
Así que un número racional es:
p / q
donde q no es cero
Ejemplos:
p
|
q
|
Número racional
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
0,5
|
55
|
100
|
0,55
|
1
|
1000
|
0,001
|
253
|
10
|
2,53
|
7
|
0
|
¡No! ¡ "q" no puede ser cero!
|
El estudiante de Pitágoras
El antiguo matemático griego Pitágoras creía que todos los números son racionales (se pueden escribir en forma de fracción), pero uno de sus estudiantes, Hipaso, demostró que no se puede escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría) y que es por lo tanto irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!
Números irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),
¡no porque esté loco! |
Racional o irracional
Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así
19/2 = 9,5
así que no es irracional (es un número racional)
Aquí tienes más ejemplos:
Números
|
En fracción
|
¿Racional o
irracional? |
5
|
5/1
|
Racional
|
1,75
|
7/4
|
Racional
|
.001
|
1/1000
|
Racional
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√2
(raíz cuadrada de 2) |
?
|
¡Irracional!
|
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
| |||||
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
| |||||
|
1,61803398874989484820... (y más...)
| |||||
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales. |
Historia de los números irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!
Números reales
Los números reales son sólo números como:
1
|
12,38
|
-0,8625
|
3/4
|
√2
|
1998
|
De hecho:
Casi todos los números que se te ocurran son números reales
Los números reales incluyen:
Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero.
Entonces... ¿qué números NO son reales?
Y también hay otros números especiales que los matemáticos usan y que no son números reales
| |
¿Por qué se llaman números "reales"?
¡Esa es la respuesta verdadera!
Real no quiere decir que aparezcan en el mundo real
No se llaman "reales" porque muestren valores de cosas reales.
| |
En matemáticas nos gusta que los números sean puros y exactos, si escribimos 0,5 queremos decir exactamente una mitad, pero en el mundo real una mitad puede no ser exacta (prueba a cortar una manzana exactamente por la mitad).
| |
Números imaginarios
Definición
Intentos
Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:
¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero.
Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto:
i × i = -1
¿Sería útil, qué podríamos hacer con él?
|
Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:
Y eso es muy útil... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.
Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?
Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i
Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.
Unidad imaginaria
La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno).
En matemáticas se usa i (de imaginario) pero en electrónica se usa j (porque "i" ya es la corriente, y la letra siguiente después de la i es la j).
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Ejemplos de números imaginarios
i
|
12.38i
|
-i
|
3i/4
|
0.01i
|
-i/2
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Los números imaginarios no son "imaginarios"
De hecho hubo un tiempo en que se pensó que los números imaginarios eran imposibles, y por eso se llamaban "imaginarios" (a modo de broma).
Pero después hubo gente que investigó más y descubrió que son útiles e importantes porque rellenan un hueco en matemáticas... pero el nombre de "imaginario" se mantuvo.
Utilidad
Aquí tienes dos ejemplos en los que son útiles:
Electricidad
|
Si combinas dos corrientes alternas puede que no coincidan bien, y puede ser muy difícil calcular la nueva corriente.
Pero usar números reales e imaginarios juntos hace mucho más fáciles los cálculos.
| ||
Y el resultado puede ser corriente "imaginaria", ¡pero puede hacerte daño igual!
|
Ecuación cuadrática
... pero quizás después de más cálculos el número "i" se cancela (o se convierte en real porque está al cuadrado), dando una respuesta que es real.
| |
Propiedad interesante
La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas:
So, i × i = -1, ... después -1 × i = -i, ... después -i × i = 1, ... después 1 × i = i (¡de vuelta i!)
Conclusión
La unidad imaginaria, i, es igual a la raíz cuadrada de menos 1
Los números imaginarios no son "imaginarios", son de verdad y son útiles, ¡y puedes tener que usarlos algún día!
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Números complejos
Ejemplos:
1 + i
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12 - 3.1i
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-0.85 - 2i
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π + πi
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√2 + i/2
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¿Un número que es una combinación de dos números?
¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!
Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales".
Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario).
|
Cero
Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.
Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.
Número complejo
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Parte real
|
Parte imaginaria
|
3 + 2i
|
3
|
2
|
5
|
5
|
0
|
-6i
|
0
|
-6
|
Sumar y multiplicar
Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante:
(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i
Y una cosa interesante es que el cuadrado de "i" sí que es -1
Ejemplo: (0 + i)(0 + i) = ((0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i) = -1 + 0i
¡Los números imaginarios existen!
Este es un buen argumento sobre la existencia de números imaginarios:
Cuando elevas el número complejo 0+i al cuadrado tienes -1
Así que puedes elevar un número al cuadrado y tener -1 ... si usas las reglas de los números complejos.
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