¿Qué son los números naturales?
Cuando el hombre tuvo la necesidad de ordenar y
enlazar conjuntos se crearon los números, que no son otra cosa que la
representación de la cantidad de determinado conjunto.
Para poder negociar y ordenar elementos, el hombre
tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que poseía y así saber de
qué disponía exactamente. De ahí surgió la idea de crear símbolos que
representaran esas cantidades.
Por ejemplo, si alguien sabía la cantidad de gallinas
que tenía en su finca, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que
podría alimentar a su familia.
Es por esta necesidad que el hombre crea lo que hoy conocemos
como números naturales. Ellos son los primeros que surgen en las distintas
civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más
elementales en el tratamiento de las cantidades.
Operaciones con números naturales
En consecuencia, los números naturales son aquellos que nos sirven para contar
y ordenar cantidades por lo que con ellos solo son posibles dos operaciones: la
de sumar y la de multiplicar ¿ Por qué?
Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre
será otro número natural. Lo mismo ocurre cuando multiplicamos. Sin embargo, no
siempre podemos restar dos números naturales y obtener como resultado otro
número natural y lo mismo ocurre con la división.
Por ejemplo, intenta restar 3 menos 8 ¿ves cómo el
resultado no nos da un número que nos sirva para contar u ordenar elementos? El
resultado sería algo como -5.
Algunos autores no excluyen al 0 (cero) de los números naturales, pero otros lo
incluyen debido a que sirven para representar un conjunto sin elementos o
vacío. En matemáticas, Los números naturales se representan con la letra n
mayúscula (N)
Lo mismo pasa con la
división ya que si, por ejemplo, dividiéramos 7 entre 5, el resultado sería un
número que tampoco nos sirve para contar u ordenar elementos ya que el
resultado correcto daría 1,4.
Por lo tanto se conoce que los números
naturales son aquellos que van del 0 hasta el infinito, es decir: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, etc.
1
Con los números naturales no era
posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el
sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde
a un número menor hay que restarle uno mayor.
Ejemplo:
Números
naturales y enteros
Números naturales
Los números naturales
son simplemente 0, 1, 2, 3, 4, 5, … (y así sigue) aunque según a quien
preguntes, el cero es o no un número natural, así que te pueden decir que los
números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, …
¡Pero nada de fracciones!
Números de contar
Los números de contar
son los números naturales, normalmente sin
el cero. Porque no se puede "contar" cero. Así que son 1, 2, 3,
4, 5, … (y eso).
Enteros
Los enteros son como
los naturales, pero se
incluyen los números negativos ...
¡también sin fracciones!
Así que un entero
puede ser negativo (-1, -2,-3, -4, -5, … ), positivo (1, 2, 3, 4, 5, … ), o
cero (0)
Confuso
Más o menos todo el
mundo está de acuerdo en que los números naturales no incluyen a los negativos, si no serían como los
enteros. Pero hay gente que dice que el cero NO es natural, y hay otra gente
que dice que sí. ¡Ya ves que no
todos están de acuerdo en algo tan fácil!
Mi definición
Aunque a veces se me
escapan cosas como "natural negativo", normalmente esto es lo que
uso:
Números
|
Nombre
|
0, 1,
2, 3, 4, 5, …
|
Naturales
|
1, 2,
3, 4, 5, …
|
Números
de contar
|
... -5,
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
|
Enteros
|
Como nadie está en desacuerdo
con la definición de entero,
cuando tengas dudas di "entero", y si sólo quieres los enteros
positivos di "enteros positivos". Así no te equivocas, y además
pareces inteligente.
La necesidad
de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, profundidades con
respecto al nivel del mar, etc.
Las anteriores situaciones nos
obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo
conjunto numérico llamado números enteros.
El conjunto de los números enteros
está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.
Los números enteros se dividen en
tres partes:
1 Enteros positivos o números
naturales
2 Enteros negativos
3 Cero
Dado que los enteros contienen los
enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de
los enteros.
Valor absoluto de un
número entero
El valor absoluto de un número
entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos
entre barras verticales.
Ejemplo:
|−5| = 5
|5| = 5
Representación de los
números enteros
1 En una recta horizontal, se
toma un punto cualquiera que se señala como cero.
2 A su derecha y a distancias
iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, ...
3 A la izquierda del cero y a
distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos:
−1, −2, −3, ...
Números racionales
Un número
racional es un número que se
puede escribir en fracción
(o sea, como un cociente).
Por ejemplo 1,5 es un número racional porque 1,5 = 3/2 (se puede escribir en forma de
fracción)
Aquí tienes más ejemplos:
Número
|
En fracción
|
¿Racional?
|
5
|
5/1
|
Sí
|
1,75
|
7/4
|
Sí
|
.001
|
1/1000
|
Sí
|
0,111...
|
1/9
|
Sí
|
√2
(raíz cuadrada de 2)
|
?
|
¡NO!
|
¡Vaya! La raíz
cuadrada de 2 no se puede escribir en forma de fracción! Y hay muchos más
números así, como no son racionales se llaman irracionales.
Definición formal de
número racional
Más formalmente
diríamos:
Un número racional es un número que se expresa en la
forma p/q
donde p y q son enteros y q es distinto de cero.
Así que un número
racional es:
p / q
donde q no es cero
Ejemplos:
p
|
q
|
Número racional
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
0,5
|
55
|
100
|
0,55
|
1
|
1000
|
0,001
|
253
|
10
|
2,53
|
7
|
0
|
¡No! ¡
"q" no puede ser cero!
|
El estudiante de
Pitágoras
El antiguo matemático
griego Pitágoras creía que todos los números son
racionales (se pueden escribir en forma de fracción), pero uno de sus
estudiantes, Hipaso,
demostró que no se puede escribir la raíz de 2 en
forma de fracción (se cree que usando geometría) y que es por lo tanto irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran
números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores
perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la
borda y se ahogó!
Números irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal
sigue para siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es
un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795
(y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el
valor Pi.
Números como 22/7 =
3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
|
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma
de razón (o fracción),
¡no porque esté loco!
|
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le
llama número racional:
Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción
así
19/2 =
9,5
así que no es irracional (es un número racional)
Aquí tienes más ejemplos:
Números
|
En fracción
|
¿Racional o
irracional?
|
5
|
5/1
|
Racional
|
1,75
|
7/4
|
Racional
|
.001
|
1/1000
|
Racional
|
√2
(raíz cuadrada de 2)
|
?
|
¡Irracional!
|
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada
de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice
que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De
hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una
fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2
es un número irracional
Números irracionales famosos
|
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más
de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los
primeros son estos:
3,1415926535897932384626433832795
(y sigue...)
|
|
El
número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado
muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los
primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527
(y sigue...)
|
|
La razón de oro es un número irracional. Sus
primeros dígitos son:
1,61803398874989484820... (y
más...)
|
|
Muchas
raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3
|
1,7320508075688772935274463415059
(etc)
|
√99
|
9,9498743710661995473447982100121
(etc)
|
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no
todas las raíces son
irracionales.
|
Historia de los
números irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los
números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se
cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir
como fracción, así que es irracional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran
números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores
perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la
borda y se ahogó!
Números reales
Los números reales son sólo números como:
1
|
12,38
|
-0,8625
|
3/4
|
√2
|
1998
|
De hecho:
Casi todos los números que se te ocurran son números
reales
Los
números reales incluyen:
Los números reales pueden ser positivos, negativos o
cero.
Entonces... ¿qué números NO son reales?
|
|
|
|
Y también hay otros números especiales que los
matemáticos usan y que no son números reales
|
¿Por qué se llaman números "reales"?
¡Esa es la respuesta
verdadera!
Real no quiere decir
que aparezcan en el mundo real
|
No se llaman "reales" porque muestren valores
de cosas reales.
|
En
matemáticas nos gusta que los números sean puros y exactos, si escribimos 0,5
queremos decir exactamente una mitad, pero en el mundo real una
mitad puede no ser exacta (prueba a cortar una manzana
exactamente por la mitad).
|
Números imaginarios
Definición
|
Un número que cuando se eleva al cuadrado (se
multiplica por sí mismo) da un resultado negativo.
|
Intentos
Vamos a probar a
elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:
¡No hay suerte!
Siempre positivo, o cero.
|
Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto:
i × i = -1
¿Sería
útil, qué podríamos hacer con él?
|
Bueno, haciendo la
raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:
Y eso es muy útil...
simplemente aceptando que exista i podemos
resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número
negativo.
Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?
Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 ×
√(-1) = 3i
Mientras tengamos esa
pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar
por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.
|
Unidad imaginaria
La
"unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es
√(-1) (la raíz cuadrada de menos uno).
En
matemáticas se usa i (de imaginario) pero en electrónica se
usa j (porque "i" ya es la corriente, y la letra
siguiente después de la i es la j).
|
Ejemplos de números imaginarios
i
|
12.38i
|
-i
|
3i/4
|
0.01i
|
-i/2
|
Los números
imaginarios no son "imaginarios"
De hecho hubo un
tiempo en que se pensó que los números imaginarios eran imposibles, y por eso se
llamaban "imaginarios" (a modo de broma).
Pero después hubo
gente que investigó más y descubrió que son útiles e importantes porque rellenan un hueco en
matemáticas... pero el nombre de "imaginario" se mantuvo.
Utilidad
Aquí tienes dos
ejemplos en los que son útiles:
Electricidad
|
|
La CA o AC (corriente alterna) cambia de positivo a
negativo siguiendo una onda sinuoidal.
Si
combinas dos corrientes alternas puede que no coincidan bien, y puede ser muy difícil calcular la nueva corriente.
Pero
usar números reales e imaginarios juntos hace mucho más fáciles los cálculos.
|
|
|
Y el resultado puede ser corriente
"imaginaria", ¡pero puede hacerte daño igual!
|
Ecuación cuadrática
|
|
|
|
...
pero quizás después de más cálculos el número "i"
se cancela (o se convierte en real porque está al cuadrado), dando una
respuesta que es real.
|
Propiedad interesante
La unidad imaginaria, i, tiene
una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores
diferentes cuando la multiplicas:
So, i × i = -1,
... después -1 × i = -i, ... después -i × i = 1,
... después 1 × i = i (¡de vuelta i!)
Conclusión
|
La
unidad imaginaria, i, es igual a la raíz cuadrada de menos 1
Los
números imaginarios no son "imaginarios", son de verdad y son
útiles, ¡y puedes tener que usarlos algún día!
|
Números complejos
Ejemplos:
1 + i
|
12 -
3.1i
|
-0.85
- 2i
|
π + πi
|
√2 +
i/2
|
¿Un número que es una
combinación de dos números?
|
¿Puedes
hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!
Lo
haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que
significa "3 de 8 partes iguales".
Pues
bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real
y uno imaginario).
|
Cero
Entonces, un número
complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.
Pero cualquiera de
las dos puede ser 0, así
que los números reales y los imaginarios son también números complejos.
Número complejo
|
Parte real
|
Parte imaginaria
|
3 + 2i
|
3
|
2
|
5
|
5
|
0
|
-6i
|
0
|
-6
|
Sumar y multiplicar
Para sumar dos
números complejos sumamos las dos partes por separado:
(a,b)
+ (c,d) = (a+c, b+d)
Ejemplo:
(3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
Pero para
multiplicarlos seguimos una regla más interesante:
(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1
- 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i
Y una cosa
interesante es que el cuadrado de "i" sí que es -1
Ejemplo: (0 + i)(0 + i) = ((0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i)
= -1 + 0i
¡Los números imaginarios existen!
Este es un buen
argumento sobre la existencia de números imaginarios:
Cuando elevas el número complejo 0+i al cuadrado tienes -1
Así que puedes elevar
un número al cuadrado y tener -1 ... si usas las reglas de los números complejos.
